题解-LibreOJ-6033「雅礼集训 2017 Day2」棋盘游戏

弱弱的征集题目概括

二分图博弈。首先是个人都能看出来将棋盘黑白染色、建二分图。

假设二分图存在完美匹配,则无论起点在哪,Bob 必胜。显然 Bob 可以一直沿匹配边走,Alice 只能走非匹配边直到无路可走。

假设二分图不存在完美匹配,则如果起点为二分图最大匹配的必配点,则 Bob 必胜;反之 Alice 必胜。

证明?

如何求解某个点是否为二分图最大匹配的必配点?

考虑找到二分图上所有非必配点。先求解出一个二分图最大匹配。显然,不在该最大匹配中的点均为非必配点。

对于该最大匹配中的点,考虑如果能以之为起点、找到以非匹配点为终点的交错轨,则该点为非必配点。

根据 这篇博客 中的思路,可以将不在最大匹配中的点作为起点,找到的所有交错轨上的点均为非必配点。

将非必配点输出即可。

建图很关键,不要犯傻;否则调都调不出来

代码如下:

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int nx[] = {-1, 0, 1, 0};
int ny[] = {0, 1, 0, -1};

int N, M;
int a[105][105];
int c[105][105];
int cnt1, cnt2;

vector<int> G[20005];
bool vis[20005];
int m[20005];

bool tag[20005];

vector<pair<int, int> > Out;

bool find(int u) {
if (vis[u]) return 0;
vis[u] = 1;
for (vector<int>::iterator it = G[u].begin(); it != G[u].end(); it++) {
int v = *it;
if (m[v] == 0 || find(m[v])) {
m[u] = v, m[v] = u;
return 1;
}
}
return 0;
}

bool dfs(int u) {
if (vis[u]) return 0;
vis[u] = 1;
if (m[u] == 0) return 1;
for (vector<int>::iterator it = G[m[u]].begin(); it != G[m[u]].end(); it++) {
int v = *it;
if (dfs(v)) return 1;
}
return 0;
}

int main() {
cin >> N >> M;
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
for (int j = 1; j <= M; ++j) {
char ch;
cin >> ch;
if (ch == '#') continue;
if ((i + j) & 1) c[i][j] = ++cnt1;
else c[i][j] = ++cnt2 + 10000;
}
}
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
for (int j = 1; j <= M; ++j) {
if (c[i][j] == 0) continue;
for (int k = 0; k < 4; ++k) {
int ti = i + nx[k], tj = j + ny[k];
if (ti >= 1 && ti <= N && tj >= 1 && tj <= M) {
if (c[ti][tj]) G[c[i][j]].push_back(c[ti][tj]);
}
}
}
}
for (int i = 1; i <= cnt1; ++i) {
memset(vis, 0, sizeof(vis));
find(i);
}
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
for (int j = 1; j <= M; ++j) {
if (c[i][j] == 0) continue;
memset(vis, 0, sizeof(vis));
if (dfs(c[i][j])) {
Out.push_back(make_pair(i, j));
}
}
}
printf("%d\n", Out.size());
for (int i = 0; i < (int)Out.size(); ++i)
printf("%d %d\n", Out[i].first, Out[i].second);
return 0;
}

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