算法学习-树套树

本文部分内容转载自 OI Wiki 树状数组套主席树

概述

普通数据结构维护单一维度信息,树套树维护多维度信息。

树状数组套权值线段树

树状数组套权值线段树可以在 $O(n \log^2 n)$ 的时间复杂度解决动态区间 $k$ 小值问题。

如果用线段树套平衡树中所论述的,用线段树套平衡树,即对于线段树的每一个节点,对于其所表示的区间维护一个平衡树,然后用二分来查找 $k$ 小值。由于每次查询操作都要覆盖多个区间,即有多个节点,但是平衡树并不能多个值一起查找,所以时间复杂度是 $O(n\log^3 n)$,并不是最优的。

思路是,把二分答案的操作和查询小于一个值的数的数量两种操作结合起来。最好的方法是使用 线段树套主席树

说是主席树其实不准确,因为并不是对线段树的可持久化,各个线段树之间也没有像主席树各版本之间的强关联性,所以称为 动态开点权值线段树 更为确切。

思路类似于线段树套平衡树,即对于线段树所维护的每个区间,建立一个动态开点权值线段树,表示其所维护的区间的值。

在修改操作进行时,先在线段树上从上往下跳到被修改的点,删除所经过的点所指向的动态开点权值线段树上的原来的值,然后插入新的值,要经过 $O(\log n)$ 个线段树上的节点,在动态开点权值线段树上一次修改操作是 $O(\log n)$ 的,所以修改操作的时间复杂度为 $O(\log^2 n)$ 。

由于线段树的常数较大,在实现中往往使用常数更小且更方便处理前缀和的 树状数组 实现。

给出一种代码实现:luogu-p2617

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define id(x) (lower_bound(b + 1, b + L + 1, x) - b)
#define rid(x) (b[x])
#define lowbit(x) (x & (-x))
const int MAXN = 100005 * 2;
struct op {
char opt;
int i, j, k, t;
}ops[MAXN];
struct Node {
int l, r, sum;
Node() {l = r = sum = 0;}
}node[MAXN * 80];
int cnt, c[MAXN];
int N, M, L;
int a[MAXN], b[MAXN];
int qr[MAXN], ql[MAXN], qrlen, qllen;
void insert(int& u, int l, int r, int p, int val) {
if (u == 0) u = ++cnt;
node[u].sum += val;
if (l == r) return;
int mid = (l + r) >> 1;
if (p <= mid) insert(node[u].l, l, mid, p, val);
else insert(node[u].r, mid + 1, r, p, val);
}
void modify(int u, int p, int val) {
for (; u <= N; u += lowbit(u)) insert(c[u], 1, L, p, val);
}
void pre(int u, int* a, int& len) {
len = 0;
for (; u >= 1; u -= lowbit(u)) a[++len] = c[u];
}
int query(int l, int r, int k) {
if (l == r) return l;
int mid = (l + r) >> 1, lsum = 0;
for (int i = 1; i <= qrlen; ++i) lsum += node[node[qr[i]].l].sum;
for (int i = 1; i <= qllen; ++i) lsum -= node[node[ql[i]].l].sum;
if (lsum >= k) {
for (int i = 1; i <= qrlen; ++i) qr[i] = node[qr[i]].l;
for (int i = 1; i <= qllen; ++i) ql[i] = node[ql[i]].l;
return query(l, mid, k);
}
else {
for (int i = 1; i <= qrlen; ++i) qr[i] = node[qr[i]].r;
for (int i = 1; i <= qllen; ++i) ql[i] = node[ql[i]].r;
return query(mid + 1, r, k - lsum);
}
}
int main() {
scanf("%d%d", &N, &M);
for (register int i = 1; i <= N; ++i) {
scanf("%d", &a[i]), b[++L] = a[i], c[i] = ++cnt;
}
for (register int i = 1; i <= M; ++i) {
cin >> ops[i].opt;
if (ops[i].opt == 'Q') {
scanf("%d%d%d", &ops[i].i, &ops[i].j, &ops[i].k);
}
else {
scanf("%d%d", &ops[i].i, &ops[i].t);
b[++L] = ops[i].t;
}
}
sort(b + 1, b + L + 1);
L = unique(b + 1, b + L + 1) - b - 1;
for (register int i = 1; i <= N; ++i) {
a[i] = id(a[i]);
modify(i, a[i], 1);
}
for (register int i = 1; i <= M; ++i) {
if (ops[i].opt == 'Q') {
pre(ops[i].j, qr, qrlen);
pre(ops[i].i - 1, ql, qllen);
printf("%d\n", rid(query(1, L, ops[i].k)));
}
else {
modify(ops[i].i, a[ops[i].i], -1);
a[ops[i].i] = id(ops[i].t);
modify(ops[i].i, a[ops[i].i], 1);
}
}
return 0;
}

未完待续……等我学完平衡树再接着弄

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